Arhimedov zakon: Jedna legenda govori da je autor poznatog uzvika «Eureka!», znameniti antički mislilac Arhimed iz Sirakuze (287.-212. god. prije Krista) od svojeg vladara, tiranina Dionizija dobio zadatak da odredi koliko u sastavu njegove krune ima bakra, a koliko zlata, tako da ne rastavlja (oštećuje) krunu. Uzvik je navodno nastao dok se Arhimed brčkao u kadi i «prosvijetlilo» mu je da je lakši dok je potopljen u vodi negoli kad je vani. To mu je dalo ideju kako riješiti zadani problem. Tragom rješavanja problema došao je do puno važnijeg zaključka, koji poznajemo kao znameniti Arhimedov zakon.

______________________

Izvukli smo odnos sila uzgona, težine u vodi i izvan vode i iskazali jednadžbom:

Fuz= Fg – F' g

Malom izmjenom ove jednadžbe dobivamo izraz za težinu tijela u vodi:

F' g= Fg – F' uz

što je poznato kao Arhimedov zakon. Prisutne oznake imaju značenje: F' g je težina tijela potopljenog u vodi, Fg je težina tijela vakuumu, Fuz je sila uzgona kojom voda djeluje na tijelo.

Vidimo da Arhimedov zakon tvrdi kako je težina tijela u vodi manja od težine tijela u zraku za silu uzgona.

Ta se tvrdnja odnosi na sve fluide, pa možemo reći:

Težina tijela uronjenog u neki fluid manja je od težine tijela u vakuumu za silu uzgona.

Zato smo i pri definiranju težine naglasili da je ona jednaka sili teži, ako je tijelo u vakuumu. Dakle, i u zraku tijelo ima manju težinu negoli u vakuumu. Jer zrak je fluid, pa na tijela u zraku također djeluje sila uzgona. U praksi, razliku težine tijela u zraku i vakuumu možemo zanemariti u velikom broju slučajeva.

Uzgon

Izraz za silu uzgona izvodimo na primjeru tijela uronjenog u neki fluid.

Postavlja se pitanje, kako odrediti uzgon u općenitom slučaju? Pogledajmo to na ovom primjeru.

U fluidu gustoće r nalazi se neko tijelo volumena V.

(a)Kolika je sila uzgona kojom fluid djeluje na tijelo?

(b)Kolika je težina tijela?

(c)Što možete reći za često ponavljanu definiciju Arhimedova zakona da tijelo gubi na težini onoliko koliko teži tijelom istisnuti fluid?

Rješenje:

(a)

Radi jednostavnosti računanja uzet ćemo da je tijelo paralelopiped visine d i baze A.

Na gornju bazu tijela fluid tlači prema dolje tlakom p1= pat + r g h

i tako prema dolje djeluje silom F1= p1 A.

Na donju bazu tijela fluid tlači prema gore tlakom p2= pat + r g (h+d)

i tako prema gore djeluje silom F2= p2 A, koja je većeg iznosa od F1 jer je p2>p1.

Po pobočkama su tlakovi uravnoteženi.

Ukupno, fluid na tijelo djeluje silom čiji je iznos razlika iznosa sila F2 i F1.

Njezina je orijentacija prema gore, jer je sila F2 veća od sile F1. To je sila uzgona. Za njezin iznos vrijedi:

Fuz= F2 – F1= p2 A – p1 A= (p2 – p1) A

Kako je p2 – p1= pat + r g (h+d) – pat - r g h = r g d

Za uzgon dobivamo:

Fuz= r g d A.

Ujedno zaključujemo da je uzrok sile uzgona razlika hidrostatskog tlaka na gornje i donje dijelove tijela.

Umnožak d A jest volumen V tijela, pa konačno za uzgon imamo:

Fuz= r g V.

Treba upamtiti da je u ovom izrazu r znači gustoću fluida, V volumen tijela uronjen u fluid i g akceleracija slobodnog pada.

Treba uočiti da se u izraz za silu uzgona za V uvrštava samo onaj volumen koji je uronjen u fluid. Ako je tijelo jednim dijelom izronjeno, uračunava se samo ono što je uronjeno. Dakle Fuz na danu tekućinu ovisi samo o uronjenom volumenu tijela.

(b)

Težina tijela dok je u fluidu jest:

F'g= Fg- Fuz= Fg - r g V.

(c)

Kad se tijelo uroni u fluid, ono istisne onoliki volumen fluida koliki je volumen tijela.

U izrazu za uzgon stoji volumen tijela, a ujedno je to i volumen fluida što ga tijelo istisne.

Nadalje, umnožak gustoće fluida i volumena tijela, koji je prisutan u izrazu za uzgon je time umnožak gustoće fluida i volumena fluida kojeg je tijelo istisnulo.

To je onda masa istisnutog fluida, koja pomnožena s akceleracijom slobodnog pada daje težinu istisnutog fluida.

Pogledamo li u Arhimedov zakon, koji kaže da tijelo uronjeno u fluid gubi na težini onoliko kolika je sila uzgona, vidimo da umjesto «kolika je sila uzgona» možemo reći «kolika je težina tijelom istisnute tekućine».

Pisano skraćeno to izgleda ovako:

Vtijela= Vistis.fluid® rfluid Vtijela = rfluid Vistis.fluid= mistis.fluid ®

®Fuz= rfluid Vtijela g = mistis.fluid g = Fg.istis.fluid

Dakle, spomenuta definicija Arhimedova zakona je točna i sukladna s prijašnjom.

Česta pitalica, navodno za naivnu djecu, jest: «Što je teže, kilogram vune ili kilogram olova?»

Pitalica «igra» na psihološku zamku da se svakodnevno susrećemo sa slučajevima da su neka rastresna tijela kao vuna, spužva ili slično lakša od komada npr. željeza ili

olova. Tako se željezo ili olovo doživljava težima. Postoji i uzrečica: «Teško kao olovo.»

Očekivani «ispravni» odgovor jest da su jednako teški.

No očekuje se i fizikalno mišljenje i rješenje toga pitanja koje se zasniva na već spomenutima elementima.

Rješenje pitalice: Teži je kilogram olova.

Kako? Po uvjetima pitalice imamo na raspolaganju istu masu olova i vune. Olovo je međutim daleko veće gustoće, a time i manjeg volumena, pa će na njega djelovati manja sila uzgona od sile uzgona na vunu. Konačno, težina olova će biti veća od težine vune.

Formalno izvedeno to izgleda ovako:

mpb= mv= m; rpb> rv ® Vpb= m/rpb< Vv = m/rv ® FuzPb= rz Vpb g < Fuzv= rz Vv g -> F'gPb= Fg- FuzPb> F'g= Fg- Fuzv

Drugi je problem da li je jednostavnije nositi kilogram olova ili kilogram vune. Naravno, raspravu smo vodili za slučaj da su i olovo i vuna u zraku. Ako se pitanje postavlja za vakuum, jasno je da su im težine jednake.

Uvjeti plivanja

Prema Arhimedovu zakonu, za tijelo u fluidu možemo imati tri slučaja:

- sila teža je veća od sile uzgona; G> Fuz

- sila teža i uzgon su jednaki; G= Fuz

- sila teža je manja od sile uzgona; G< Fuz

Koji će slučaj biti, zavisi o odnosu gustoće tijela i fluida.

Razmotrimo kakav je odnos gustoće tijela i fluida u ova tri slučaja.

Sila teža je veća od sile uzgona; G> Fuz

Za ovaj slučaj zaključujemo da će tijelo tonuti.

Za sile vrijedi odnos Fg> Fuz ® mtijelo g> rfl Vtijelo g,

kraćenjem akceleracije slobodnog pada dobivamo:

mtijelo> rfl Vtijelo® mtijelo/ Vtijelo> rfl, ovdje je omjer mase i volumena tijela gustoća tijela. Tako za odnos gustoća tijela i fluida u kojem tijelo tone dobivamo:

rtijelo>rfl

Tijelo će tonuti u fluidu koji je manje gustoće od gustoće tijela, npr. komad željeza u vodi.

Sila teža je jednaka sili uzgona; G= Fuz
Za ovaj slučaj zaključujemo da je ukupna sila na tijelo nula, te je tijelo u ravnoteži, gdje se god unutar fluida nalazilo. Kažemo da tijelo pluta.

Za gustoće izvlačimo zaključak, slično kao i gore:

Fg= Fuz ® mtijelo g= rfl Vtijelo g. Ako kratimo g dobivamo:

mtijelo= rfl Vtijelo ® mtijelo/ Vtijelo= rfl, odnosno rtijelo= rfl.

Dakle, tijelo će plutati u fluidu čija je gustoća jednaka gustoći tijela, npr. daska natopljena vodom u vodi.

Sila teža je manja od sile uzgona; G< Fuz

Za ovaj slučaj zaključujemo da će tijelo, kada je sasvim potopljeno, trpjeti ukupnu silu prema gore. Tijelo se treba pridržavati da se ne giba prema gore. Ako tijelo pustimo ono će izranjati iz fluida i plivati. Jednim dijelom će tijelo biti potopljeno a jednim dijelom volumena će izroniti. Tijelo će izranjavati sve dok se sila uzgona ne smanji na iznos sile teže, te dok se dvije sile ne uravnoteže.

Odnos gustoća tijela i fluida u kojem tijelo pliva dobivamo pođemo li od odnosa sila:

Fg> Fuz ® mtijelo g> rfl Vtijelo g.

Dalje imamo:

mtijelo< rfl Vtijelo® mtijelo/ Vtijelo< rfl, i konačno: rtijelo< rfl

Dakle, tijelo će plivati u fluidu koji je gušći od tijela, npr.drvo na vodi, olovo na živi itd.

Koliki će dio tijela izroniti?

Izranjanjem tijela smanjuje se potopljeni volumen, a time i uzgon. Tijelo će izranjati sve dok ne izroni toliko da se sila uzgona ne izjednači sa silom težom, tj.:

Fuz= Fg ® rfl Vur g = mtijelo g ® rfl Vur= rtijelo V,

gdje smo pri izvođenju koristili opće poznate izraze. S Vur smo označili uronjeni dio volumena tijela, a s V volumen tijela. Za uronjeni dio dobivamo konačni izraz:

Vur= rtijelo/ rfl V

Znači, uronjeni će biti onoliki dio volumena koliki je omjer gustoće tijela i tekućine.

Volumen izronjenog dijela tijela jest:

Vizr= V - Vur = (1- rtijelo/ rfl) V

__ __