Mandelbrot – matematičar s maštom!

Ponekad mislimo da je matematika suhoparna i da joj nedostaje mašte. Benoît Mandelbrot dokazao je suprotno. Njegovo će ime ostati zapamćeno po skupu točaka koji se, naravno, naziva Mandelbrotov skup!       Benoît Mandelbrot, matematičar Rođen 1924. u Poljskoj, školovan u Francuskoj, živi i radi u SAD

Mandelbrotov skup je najsavršeniji od svih fraktala. Kad povećamo njegove dijelove, ponovno se ukazuju isti oblici – on ima svojstvo samosličnosti Mandelbrotov skup zapravo je skup koji obuhvaća samo neke, točno zadane, točke T(a,b) u ravnini Ako te točke, dakle one koje pripadaju Mandelbrotovom skupu, prikažemo crnom bojom, a sve ostale bijelom (ili ih uopće ne nacrtamo), dobili smo crno-bijelu sliku koja predstavlja pravi Mandelbrotov skup.

Kakvim se postupkom određuje koje točke T(a,b) pripadaju Mandelbrotovom skupu, a koje ne ?

Iteracijom izraza:
z_n+1=z_n² + c

z i c su kompleksni brojevi:
z_n=x_n+iy_n    c=a+ib

gdje je "i" imaginarna jedinica.

Prema tome, izraz za iteraciju može se napisati tako da se realni dio odvoji od imaginarnog dijela kompleksnog broja, i dobije se:

x_n+1=x_n² - y_n² + a
y_n+1=2 x_n y_n + b

Za neke vrijednosti a i b, apsolutne vrijednosti |x| i |y| postaju sve veće i veće. Možemo, primjerice, isprobati N=500 iteracija. Ako vrijednosti ni tada ne prelaze 2, tada točka T(a,b) pripada Mandelbrotovom skupu. Prikazujemo je crnom mrljicom na mjestu (a,b) u ravnini.

ZADATAK 5

a) Izračunajte parove brojeva x_n i y_n za početne vrijednosti x₀=0 i y₀=0, za točku a=0,1, b=0,3, do n=500. Uvjerite se da točka T(a,b) pripada Mandelbrotovom skupu. Napravite kompjutorski program koji računa tablicu, i bilježi točke koje pripadaju Mandelbrotovom skupu.

b) Napravite program koji računa tablicu za 10x10 točaka unutar područja ravnine zadanog s 1>a>-2, i 1,5>b>-1,5.
Nacrtajte sve dobivene točke.

c) Ponovite za N=30, 100 i 1000.

UPUTA:Prvih nekoliko redaka tablice za zadanu točku T(a=0,1, b=0,3) izgledat će otprilike ovako:

x₁=0,1000 y₁=0,3000
x₂=0,0200 y₂=0,3600
x₃=-0,0292 y₃=0,3144
x₄=0,0020 y₄=0,2816
x₅=0,0207 y₅=0,3011
x₆=0,0098 y₆=0,3125

Ni u daljnjim parovima brojeva nijedan od njih ne premašuje vrijednost 2, dakle tocka (0,1 ; 0,3) pripada Mandelbrotovom skupu.

Dakle, ponavljamo postupak za različite brojeve NxN=N² točaka podjednako razmještenih u ravnini.

Slika je preciznija, ako je mreža točaka koje ispitujemo finija, tj. što je broj N veći.

 

Na slici lijevo vidi se kako izgledaju dobiveni skupovi za: a) N=10, N2=100 b) N=30, N2=900 c) N=100, N2=10000 d) N=1000, N2=1000000 Broj iteracija: n=500

|e-škola | |O projektu | |Fraktali | |Kochova krivulja | |Mandelbrotov skup | |Fraktali oko nas | |Literatura |