Schwarzschildov radijus

Zadatak: Schwarzschildov radijus

Pronađite formulu za brzinu koju treba imati objekt mase m da bi se oslobodio gravitacionog privlačenja zvijezde mase M ako ga lansiramo s površine te zvijezde radijusa R. To je tzv. druga kozmička brzina. Uočite da ona ne ovisi o masi m tijela koje lansiramo.

Sada pretpostavite da ta formula vrijedi ne samo za masivna tijela već i za svijetlost te pomoću nje odredite radijus koji mora imati zvijezda mase M tako da na njenoj površini druga kozmička brzina bude jednaka brzini svjetlosti. Taj radijus zovemo Schwarzschildov, a zvijezdu čija je materija sabijena unutar tog radijusa zovemo crna rupa jer se ni svjetlost ne može osloboditi njenog gravitacionog privlačenja.

Rješenje:

(Senka Pintarić, 2. razred, gimnazija Čakovec)

Da bi se objekt mase m oslobodio gravitacijskog privlačenja zvijezde mase M i radijusa R, mora dobiti energiju koja je jednaka konačnoj vrijednosti manje početna vrijednost, tj. :

Ep(a) - Ep(b) = 0 - (- GMm/R) = GMm/R = E.

Ta je energija kinetička, pa imamo:

Ek = E

mv^2/2 = GMm/R.

Djeljenjem gornje jednakosti sa m dobivamo:

v^2/2 = GM/R

v^2 = 2GM/R

korijenovanjem dobivamo:

v = (2GM/R)^(1/2). (*)

Dakle, formula za brzinu koju treba imati objekt je (*).

Pretpostavimo da formula (*) vrijedi ne samo za masivna tijela već i za svjetlost te ćemo pomoću nje odrediti Schwarzschildov radijus:

v^2/2 = GM/R

množenjem gornje jednakosti sa 2R dobivamo:

Rv^2 =2GM

R = 2GM/(v^2).

Uvrstimo v = 2,99792458 * 10^8 m/s (brzina svjetlosti) i dobivamo:

R = 2 * 6,672 *10^(-11) Nm^2/(kg^2) * M/(2,99792458 * 10^8 m/s)^2

R = 1,48 * 10^(-27)m/kg * M. (**)

Dakle, Schwarzschildov radijus iznosi (**).

Home || Svemirski orijentiri | Povijest svemira | Tamna tvar | Crne rupe | Pitanja | Sitemap

Send feedback to this page to: kkumer@phy.hr Last update: 19th Aug 1999