Hrvoje Maljković: Lagrangeove točke

Iz Newtonove formule univerzalne gravitacije jednostavno je izračunati kako se ponašaju dva tijela koja se međusobno privlače. Međutim, u sustavu tri ili više tijela, stvari se toliko usložnjuju, da ih je praktično nemoguće riješiti. Tako je problem gibanja triju tijela u Newtonovoj teoriji gravitacije dugo vremena bio pretežak problem za rješavanje.

1772. godine, talijansko-francuski matematičar i astronom Joseph Louis Lagrange (1736-1813) teoretski je proračunao da se pod strogo određenim uvjetima može postići stabilna ravnoteža triju tijela. Da to nisu samo puka teoretiziranja potvrđeno je 1906. godine otkrićem dvije grupe asteroida (Trojanci) u orbiti planeta Jupitera. Sustav Sunce-Jupiter-Trojanci (to vrijedi za obje grupe asteroida), čini stabilni sustav tri tijela koja su međusobno jednako udaljena, tj. nalaze se na vrhovima zamišljenog jednakostraničnog trokuta čija su sva tri kuta, kao što znamo, 60°.

Dakle, Lagrangeove točke su točke u svemiru u kojima malo tijelo, pod utjecajem gravitacije dva veća tijela, ostaje u orbiti na približno istoj udaljenosti od njih. Gravitacijsko privlačenje dviju većih masa točno je jednako centripetalnoj sili potrebnoj da tijelo rotira zajedno sa njima.

Da bi takav sustav mogao postojati, moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti:

1. Tijela M i m u stabilnom su kruženju oko zajedničkog centra mase (c.o.m.)
2. Masa malog tijela u točkama L4 i L5 beznačajna je u odnosu na mase tijela M i m
3. Na sustav tri tijela ne utječe niti jedna druga sila osim gravitacijske

Lagrangeove točke Lagrangeove točke sustava dvaju masa, M i m. (Preuzeto s dozvolom s http://members.aol.com/cclinker/l5data2.htm).

U svakom sustavu dva teška tijela (npr. Sunce-Jupiter, ili Zemlja-Mjesec) postoji pet teoretskih Lagrangeovih točaka (L1, L2, L3, L4 i L5), ali samo su dvije stabilne (L4 i L5). Točke L1, L2 i L3 nazivaju se kolinearne točke jer leže na pravcu što spaja središta masa tijela M i m, a točke L4 i L5 zovemo ekvilateralnim točkama jer sa tijelima M i m tvore vrhove zamišljenog jednakostraničnog trokuta.

Treba reći da su točke L4 i L5 stabilne pod uvjetom da je omjer masa M/m > 24,96. Taj uvijet zadovoljen je za sustav Sunce-Jupiter (Ms / Mj =1000), zatim sustav Zemlja-Mjesec (Mz / Mmj =83,33), a također i za sustav Sunce-Zemlja i još za mnoge druge parove težih tijela u Sunčevom sistemu. Ima na stotine Trojanskih asteroida u Sunčevom sistemu. Najviše Trojanaca nalazi se u orbiti Jupitera, ima ih u orbiti Marsa, a i nekoliko Saturnovih mjeseca također ima njihovu "pratnju".

U točkama L4 i L5 sustava Zemlja-Mjesec nisu pronađena nikakva tijela, ali su zato pronađene velike koncentracije prašine što je još 1956. godine primjetio poljski astronom Kazimierz Kordylewski. Lagrangeove točke u Mjesečevoj orbiti oko Zemlje spominju se i kao idealne svemirske baze, jer na tim mjestima ne bi bilo težine, pa se ne bi trebalo trošiti gorivo za lansiranje letjelica. Materija za takvu bazu mogla bi biti posuđena sa samog Mjeseca.

U sustavu Sunce-Zemlja nedavno je satelit COBE instrumentom DIRBE potvrdio ranija IRAS opažanja prstena prašine što se nalazi u orbiti Zemlje oko Sunca. Taj prsten prašine jest povezan sa Lagrangeovim točkama, ali je je situacija nešto složenija zbog utjecaja tlaka zračenja na čestice prašine.

Razne vrste detektora već su lansirane u Lagrangeove točke (npr. satelit SOHO nalazi se u točki L1 sustava Sunce-Zemlja, a u točku L2 lansiran je MAP satelit i vjerojatno u budućnosti Next Generation Space Telescope) upravo zato što ih je tamo relativno jednostavno držati na istoj poziciji, a ujedno se štedi i gorivo. Inače, točke L1 i L2 su nestabilne na vremenskoj skali od približno 23 dana, što znači da je za satelite smještene u tim točkama potrebno vršiti korekciju njihovih putanja.

Za sada, točka L3 nije iskorištena jer se cijelo vrijeme nalazi iza Sunca. Tek pisci znanstvene fantastike koriste tu točku kao mjesto na kojem se nalazi zagonetni "Planet-X". Međutim, orbita te točke nestabilna je (s ciklusom od 150 dana) pa je teško vjerovati u postojanje takvog planeta.

Važno je reći da se mala tijela ne nalaze u samim Lagrangeovim točkama, već da orbitiraju oko njih. Te točke se ponašaju gotovo kao središta gravitacije i mala tijela sa energijom dobivenom od solarnog vjetra i gravitacije orbitiraju oko njih u nepravilnim krivuljama oblika graha ili trokuta savijenih kuteva, a ponekad i potpuno kaotično.

Efektivni gravitacijski potencijal Na slici vidimo utjecaj sila na tijelo, prikazano kao "karta efektivnog potencijala". Žuto su obojene "uzvisine", a ljubičasto "doline". Tamo gdje su linije efektivnog potencijala gušće sila je jača, a gdje se linije prorjeđuju sila slabi. Vidljivo je da se točke L4 i L5 nalaze na vrhovima uzvisina, dok se točke L1, L2 i L3 nalaze se u sedlastom dijelu. Razlika je kao da stavljate kuglicu na vrh lubenice ili je stavljate na vrh pravog sedla. Iz toga bi se činilo da su točke L4 i L5 nestabilne. Međutim, kada se satelit počne "spuštati nizbrdo", njegova brzina se povećava i tu počinje djelovati Coriolisova sila koja šalje satelit u stabilnu (ali nepravilnu) orbitu oko Lagrangeove točke. (Preuzeto s dozvolom s http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm/ob_techorbit1.html.)

Želite li znati više? Oni skloni matematici na ovoj stranici mogu naći nešto jednostavne matematike za pronalaženje Lagrangeovih točaka (Engl.). Literatura: G. Divjanović: Čovjek i Svemir, Školska knjiga, 1997. Stranica projekta MAP o Lagrangeovim točkama

Home || Prilozi čitatelja | Svemirski orijentiri | Povijest svemira | Pitanja | Sitemap

Send feedback to this page to: kkumer@phy.hr	Last update: 2001-10-03