Postavimo problem za koji zahtijevate logično objašnjenje na sljedeći načini: Ako, primjerice, lopta biva ispuštena sa visine od 1 metra kako to da ona uopće padne na tlo, budući da joj valja prvo prijeći 1/2 m, pa zatim 1/4 m, pa onda 1/8 m i tako dalje do u beskonačnost. Ovaj problem zapravo nije nov, a izvorno se pripisuje Zenonu iz Eleje (rođen oko 488 g.pr.Kr.), pripadniku tzv. eleatske filozofske škole i učeniku Parmenida. Eleatska je škola imala težak cilj, naime, dokazivati suprotno od onoga što se u svakidašnjem životu čini posve očiglednim - da gibanje ne postoji. Zenonu se ukupno pripisuju četiri dokaza protiv gibanja (ili aporija, što znači nedoumica, dvojba): Dihotomija, Ahil, Strijela i Stadion. Vaša je dvojba ista ona koju Zenon izražava u Dihotomiji (od grčkog dichotomein: "dijeljenje na pola").

Dakle, riječ je o prvom Zenonovom dokazu protiv gibanja o kojem, kao i o ostala tri, saznajemo iz Aristotelove Fizike, budući da je od Zenona u originalu ostalo tek nekoliko fragmenata. Prema Aristotelu, argument Dihotomije sastoji se u tome "kako ne postoji gibanje zbog toga što ono koje se premješta treba stići do polovice prije negoli do cilja" (Fiz. 239b11-13). Međutim, "polovica pak je beskonačno, a beskonačnosti je nemoguće prijeći" (Fiz. 263a5-6). Dakle, ono gibajuće (neka je to neki trkač) prije negoli prijeđe cijeli put mora prvo prijeći polovicu, zatim četvrtinu, pa osminu i tako beskonačno dalje, dakle, općenito odsječke puta 1/2ⁿ (n = 1, 2, 3, ...). Dakako, ovdje je udaljenost AB koju trkaču valja prijeći "normalizirana" na jedinicu (vidi sliku 1a). Postoji i tzv. 'obrnuta' inačica Dihotomije, gdje trkač ne bi mogao niti započeti utrku, budući bi prije nego li prijeđe polovicu puta morao prijeći četvrtinu puta, a prije toga osminu i tako dalje. Kako sada nema prve točke u nizu beskonačno mnogo točaka, trkač ne bi mogao niti započeti trku (vidi sliku 1b).

Slika 1.

Valja pripomenuti kako je u Zenonovu dokazu potpuno nebitno kako trkač prelazi ove odsječke (polovice) puta. Od trkača bi se moglo tražiti "da se istodobno s kretanjem prije izbroji polovica pri svakoj pojedinoj nastaloj polovici" (Fiz. 263a6-9), dakle, trkač bi mogao legato (dakle, u jednom komadu, neprekidno) trčati i usput brojati prijeđene intervale:

[0,1/2], [1/2,3/4], [3/4,7/8], ..., [(2^n-1-1)/2ⁿ,(2ⁿ-1)/2ⁿ]

odnosno, trčati neprekidno i brojati prva (polovica), druga, treća .... Ovo bi, međutim, vodilo do jednog sasvim standardnog contradictio in adiecto, jer, kako kaže Aristotel, "kad je prijeđena cijela crta, izlazi da je izbrojen beskonačan broj, što je po općem mnijenju nemoguće" (Fiz. 263a9-11). S druge pak strane, kada Aristotel govori o još jednoj inačici Dihotomije u smislu da nešto ne može "pojedince taknuti beskonačnost u konačnome vremenu" (Fiz. 233a21), ovo taknuti valja shvatiti doslovno; taknuti može značiti fizički kontakt trkača i postaja na njegovom putu, koje se podudaraju s točkama puta

1/2, 3/4, 7/8, ..., (2ⁿ-1)/2ⁿ

kojih pak ima beskonačno mnogo. Trkač bi primjerice mogao trčati staccato (dakle, odsječeno, isprekidano), odnosno, protrčati, primjerice, prvi odsječak puta (polovicu) pa se nakratko zadržati u točki 1/2; zatim protrčati drugi odsječak puta (četvrtinu) i stati u točki 3/4, i tako dalje, ili pak opet trčato legato i doticati nešto pri postajama puta. Međutim, ono što je bitno u svih ovih inačica Zenonove Dihotomije jest pretpostavka dolaženja trkača na cilj u konačnome vremenu, jer riječ je o okončanom, izvršenom zadatku, odnosno, o dolaženju trkača na cilj u točki B. Konačno je vrijeme suština paradoksa jer bi u tom slučaju u konačnome vremenu bio izvršen beskonačan broj zadataka. No, može li se u konačnome vremenu izvršiti berskonačan broj zadataka?

O ovome se Zenonovom argumentu protiv gibanja (kao i o ostala tri) uistinu mnogo raspravljalo i mnogo je njihovih rješenja kao i tumačenja ponuđeno. No, najlošije je ono koje Zenonu predbacuje lošu aritmetiku. Tako će, primjerice, američki filozof i matematičar C.S. Pierce reći da je Dihotomija (a primjenjujući to i na ostale Zenonove dokaze) "smiješna mala doskočica koja ne predstavlja nikakvu poteškoću onome koji je odgovarajuće školovan u matematici i logici". Tu Pierce misli na sljedeću lošu aritmetiku. Naime, neki drže da je Zenon govorio o tome kako u konačnome vremenu trkaču valja prijeći beskonačnu udaljenost, odnosno, da je Zenon učinio pogrešku u zaključivanju od činjenice beskonačno mnogo djeljivih intervala puta na njihov beskonačni zbroj. On je, naime, mogao razmišljati na sljedeći način. Prvo, udaljenost AB sastoji od beskonačno mnogo dijelova, a svaki je od njih (koliko god on malen bio) ipak konačna pozitivna veličina. Sada, veličina AB nužno je jednaka zbroju veličina svojih dijelova, a budući AB ima beskonačno mnogo takvih dijelova, njezina je veličina jednaka zbroju veličina beskonačnnog mnoštva dijelova. Naposlijetku, zbroj beskonačno mnogo pozitivnih veličina je i sam beskonačna veličina, te bi stoga trkaču valjalo prijeći beskonačnu udaljenost. Naravno, u duhu moderne matematike ovaj bi zaključak bio razvidno netočan, budući da beskonačni niz 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergira i ima konačan zbroj 1, odnosno, polovica dužine plus jedna četvrtina dužine plus jedna osmina, i tako dalje, zbrajaju se (u neograničenosti) do cijele dužine. No, istraživanja (filozofska, matematička i filološka) ukazuju da Zenon nije učinio jednu takvu pogrešku, te da je dobro bio svjestan o čemu govori. Stoga svako rješenje u tom smjeru promašuje poantu. Drugi pak neopravdani prigovor Zenonu je onih, kako je prigovarao jedan stari profesor filozofije Johhan Gottlieb Waldin 1782. godine, koji ne razumijevaju jedan standardni i jednostavni reductio ad absurdum; oni naime prigovaraju kako je Zenon u dokazivanju nepostojanja gibanja prvo pretpostavio gibanje. Stoga se čini prihvatljivom ocjena filozofa (i opet matematičara) Bertranda Russela koji je rekao kako su Zenonovi argumenti usitinu "profinjeni i dubokoumni".

Ipak, iako profinjena, Zenonova Dihotomija može se osporiti, kako je to već odavno elegantno učinio Aristotel, pa se niti mi nećemo puno od njega udaljavati. Za razumijevanje odgovora ponajprije je važno shvatiti njegove koncepte neprekidnosti (grč. sunecheia) i beskonačnosti (grč. apeiron). Naime, prema Aristotelu beskonačno postoji na trojak način: "svako neograničeno biva ili prema dodavanju ili prema diobi ili na oba načina" (Fiz. 204a6-7). Izostavimo sada pitanje kako je nešto beskonačno prema dodavanju (to za naš problem nije bitno). Kako je nešto, međutim, beskonačno prema diobi? Ovo valja razmotriti na poznatome pitanju koje je mučilo stare Grke: sastoji li se crta od nedjeljivih dijelova (točaka) ili se može beskonačno dijeliti? Ishodište za odgovor na ovo pitanje Aristotelov je pojam neprekidnosti, koju on definira "kao nešto međašnje", odnosno, kao "kad dvjema stvarima postaju jedno i isto granice kojima se dodiruju i spajaju, tako te je bjelodano kako je neprekidno u onim stvarima od kojih po naravi nastaje štogod jedno, a prema dodiru" (Metafizika 1069a5). (Ova se definicija može naći i kod Boškovića). Međutim, "nemoguće je da nešto neprekidno bude sastavljeno iz nedjeljivosti, kao crta iz točaka, jer je crta neprekidna a točka nedjeljiva" (Fiz. 231a24-26). Crta se, u tom smislu, ne može sastojati od nedjeljivih dijelova, budući nedjeljivo nema ni krajnjih dijelova, pa tako ni krajnje granice sastavnih dijelova ne mogu dati cjelovitost. Stoga neprekidnost crte mora biti u tome da dijelovi koji se nastavljaju neposredno jedni na druge imaju zajedničku granicu. No, zajedničku granicu mogu imati samo opet djeljive protežnosti, koje opet mogu biti djeljive, i tako neograničeno dalje. Kako kaže Aristotel, "bjelodano je kako je svako neprekidno djeljivo na one stvari koje su uvijek djeljive. Jer kad bi se dijelilo na nedjeljivosti, bilo bi u doticaju nedjeljivo s nedjeljivim; naime, u neprekidnih stvari krajnost je jedno i u doticaju" (Fiz. 231b15). Sve ovo vrijedi i za vrijeme, koje je za Aristotela također neprekidno, a time nužno i neograničeno djeljivo. Naime, "budući je svako gibanje u vremenu, i u svakome vremenu moguće je kretati se, te sve što je pokrenuto može se kretati i brže i sporije, u svakom će se vremenu moći kretati i brže i sporije. A kako je s tima tako, nužno je i da vrijeme bude neprekidno. Neprekidnim pak nazivam ono što je djeljivo na (stvari) uvijek djeljive. Jer postavi li se da je neprekidno to, onda je vrijeme nužno neprekidno" (Fiz. 232b25). Sada Aristotel već može dati preliminarni odgovor na Zenonovu Dihotomiju. Naime, on tvrdi da "Zenonov dokaz lažno postavlja kako nešto ne može prijeći beskonačnost, niti pak pojedince taknuti beskonačnost u konačnom vremenu; jer dvostruko se naziva beskonačnim i dužina i vrijeme, i u cijelosti sve ono koje je neprekidno; naime, ili prema diobi ili prema krajnostima. Dakle, one stvari koje su prema koliko beskonačne ne mogu se doticati u konačnome vremenu, ali one koje su prema diobi mogu; jer i samo je vrijeme tako beskonačno; tako te se u beskonačnome, a ne u konačnome vremenu događa da nešto prelazi beskonačnost, i dotiču se beskonačnost s beskonačnošću, a ne s konačnošću" (Fiz. 233a21-31). Stoga "niti se dakle beskonačno prelazi u konačnom vremenu, niti konačno u beskonačnome, nego ako vrijeme bude beskonačno, i veličina će biti beskonačna, te ako je takva veličina, onda je i vrijeme" (Fiz. 233a31-34). Drugim riječima, kako su i prostor i vrijeme beskonačni po djeljivosti, tada su i dužina AB i vrijeme T_AB koje je potrebno da se ta dužina svlada, iako konačni, u istom smislu i beskonačno djeljivi. To znači da će nam za svladavanje beskonačno mnogo dijelova puta biti potrebno beskonačno, a ne konačno vrijeme, a "nema ničeg neumjesno ako tkogod u beskonačnome vremenu prijeđe beskonačnosti" (Fiz. 263a12), dakle, nema paradoksa. Prostorni i vremenski intervali konačni su i beskonačni u istom smislu, "jer istim i jednakim diobama dijele se i vrijeme i veličina" (Fiz. 233a10-11) pa se mogu jednoznačno međusobno preslikavati, a prelaženje puta u vremenu upravo je jedno takvo preslikavanje, što je rješenje sasvim u duhu suvremene fizike.

Ovo, međutim, za Aristotela nije svršetak priče. Iako se pretpostavkom da vrijeme u sebi samome sadržava beskonačnosti (u smislu beskonačne djeljivosti) naizgled razrješuje Dihotomija pomoću koncepta jednoznačnog preslikavanja puta i vremena, Aristotel uviđa kako ovo rješenje na određeni način gura problem tek jedan korak unazad. Naime, trkač očigledno prelazi put AB u konačnome vremenu (rekli bi, to je empirijska činjenica), a ne u beskonačnome. Ovo je sada problem ne stvarnog trkačevog ponašanja duž staze AB, već pitanje o samoj strukturi prostora i vremena. Pretpostavimo da trkač ne pretrči polovicu pa stane nakratko u toj točki (ili takne nešto) pa onda još polovicu i tako dalje ... Pretpostavimo da jednostavno počne trčati od starta A do cilja B. Ako su prostorni i vremenski intervali beskonačno djeljivi, kako uopće uspijeva doći do cilja? Odgovor na ovu dvojbu zahtijeva podrobnije promišljanje novog pitanja: kako zapravo ovi intervali prostora i vremena (odnosno, točke i trenutci) jesu u vremenu? Ono što je sada ključno u Aristotelovom završnom odgovoru na Zenonovu Dihotomiju njegov je koncept potencijalne beskonačnosti. Vrsta beskonačnosti, naime, koju Aristotel zastupa nije aktualna beskonačnost (u smislu u kojem bi se crta sastojala od beskonačnog broja nedjeljivih točaka), već potencijalna beskonačnost. Ovu pak potencijalnost, upozorava Aristotel (vidi Fiz. 206a18-21) ne valja shvatiti na način na koji se, primjerice, kaže da je amorfna hrpa bronce potencijalno kip; dok bi kip preoblikovanjem bronce mogao biti aktualiziran (odnosno, mogao bi stvarno postojati), beskonačno nikada ne može biti aktualizirano.

Podrobnije, kaže Aristotel kako "neprekidno kretanje biva preko neprekidnoga, i u neprekidnome jest prisutan beskonačan broj polovica, ali ne aktualno, nego potencijalno" (Fiz. 263a27-29). U duljini AB koju trkaču valja prijeći tako je potencijalno prisutan beskonačan broj polovica koje trkaču valja prijeći, ali ne i aktualno. Ukoliko bi pak polovice puta (ili postaje) bile aktualne, tada trkač "neće načiniti neprekidno [kretanje], nego će zaustavljati. U onoga pak koji broji polovice jasno je da nastaje ovo, jer se jedna točka mora brojati kao dvije, budući da će svršetak jedne polovice biti početak druge, ako se ne broji jedna neprekidna crta, nego dvije polovice" (Fiz. 263a29-b1). Stoga Aristotel zaključuje kako "valja reći onome koji pita mogu li se prelaziti beskonačnost, bilo u vremenu bilo u crti, kako dijelom može, a dijelom ne", naime, "ako je ona aktualna, onda ne može; dočim ako je potencijalna, onda može. Jer onaj tko se neprekidno kreće, prešao je beskonačnost prema prigotku [odnosno, akcidentalno, B.K.], ali ne naprosto; naime dok prigodice crta ima beskonačan broj polovica, njojzi su drukčiji bivstvo i bitak [e, ovo posljednje ne bih za sada pojašnjavao, B.K.]" (Fiz. 263b1-b9). U svome djelu De Sensu (446a6-7) Aristotel, primjerice, kaže kako se "potencijalno jedna stopa nalazi u dvije, aktualno pak tek nakon što se razdijeli"; podijeljenost veličine (prostorne i vremenske) nije inherentno već je isključivo njezino akcidentalno svojstvo. Drugim riječima, u konačnome vremenu nemoguće je ostvariti beskonačno mnogo aktualnih postaja (točaka) ili polovica puta, mada je prigodice moguće ostvariti svaku od njih (kao potencijalno postojeću); ono što postoji aktualno, uvijek je čitava neprekidnost (neizdjeljeni put, cijeli vremenski interval) koju se može prijeći, dakako, ako se jednostavno krene i ne stane.

Eto, i to bi bilo to (ukratko). Za one koji misle da su Aristotelovi koncepti neprekidnosti i potencijalne beskonačnosti samo prazna kvalitativna naklapanja, valja još pripomenuti da su oni zacrtali smjer u kojem će se više od dvije tisuće godina nakon njega razvijati matematička misao. Veličine poput, primjerice, našeg Boškovića, Leibniza, Bernoullija, pa sve matematičara poput Cauchyja, Dedekinda i Weierstrassa samo su precizirale Aristotelove odredbe neprekidnosti i potencijalne beskonačnosti. Za one pak upućenije i više kritički raspoložene, podsjetimo pak da niti nakon Cantorova uvođenja pojma aktualno beskonačnih skupova, aristotelovski pojam neprekidnosti i potencijalne beskonačnosti nije iščezao iz uporabe u matematici, budući Cantorove nazore ubrzo oslabljuju otkrića u teoriji skupova, kao i intuicionističko zasnivanje matematike u radovima Brouwera, Weyla i Lorenzena.

Za one koji žele znmati više, preporučam:

• Aristotelovu Fiziku preveo je na hrvatski Tomislav Ladan, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb 1992.
• Za općeniti kontekst problema grčke filozofije dobro je konzultirati knjigu Branka Bošnjaka Grčka filozofija, Matica hrvatska, Zagreb 1956.

Odgovorio:
Boris Kožnjak
Zavod za povijest, filozofiju i sociologiju znanosti Fizički odsjek PMF-a