Da pojasnim za one koji nisu upućeni: pitanje je postoji li način da se iz zadane kružnice, samo pomoću šestara i
ravnala, konstruira kvadrat iste površine. Taj problem se još naziva i problema kvadrature kruga, i samo je
jedan od nekoliko problema koji potjeću još od starih Grka:
- konstrukcija kocke dvostruko većeg volumena
- dijeljenje proizvoljnog kuta na tri dijela
- ...
(Podrazumijeva se korištenje samo šestara i ravnala. Pri tom ravnalo na sebi nema nikakve oznake duljine!)
Prije nego što odgovorimo na pitanje, promotrimo jedan rješivi problem: konstrukcija kvadrata dvostruko veće površine.
Zamislimo, dakle, jedan kvadrat (slika). Iz elementarnih razmatranja je jasno da ako je stranica tog kvadrata jednaka
a, onda će stranica kvadrata dvostruko veće površine biti pomnožena s 21/2,
tj. stranica će mu biti jednaka 21/2*a. Konstrukcija se
izvodi tako da se u šestar uzme dijagonala početnog pravokutnika koja je jednaka upravo traženih
21/2*a (dijagonala kvadrata!).
Za razliku od ovoga gore, problem kvadrature kruga (kao niti ostala dva problema koja sam gore naveo)
nije rješiv. Drugim riječima, samo sa šestarom i ravnalom nije moguće konstruirati kvadrat koji bi imao istu
površinu kao i zadani krug.
Dokaz te tvrdnje se osniva na nekoliko činjenica. Prva činjenica se tiče samog značenja konstrukcije pomoću šestara i
ravnala. Može se, naime, pokazati da sa dotična dva pomagala možemo vršiti sljedeće računske operacije: zbrajanje
(oduzimanje), množenje, dijeljenje, i neke vrste korijenovanja. Npr. možemo vaditi drugi korijen iz 2 - upravo
tako smo riješili 'problem' dvostrukog kvadrata. Štoviše, upotrebom Pitagorinog poučka o pravokutnom trokutu možemo, na
sličan način, konstruirati kvadratni korijen iz bilo kojeg cijelog broja.
Kombiniranjem spomenutih računskih operacija, moguće je, prema tome dobiti čitav niz racionalnih i
iracionalnih brojeva. Međutim, nije moguće dobiti broj 21/3, iako taj broj nije bitno
drugačiji od broja 21/2 (oba su naime tzv. algebarski iracionalni brojevi). To ujedno znači da
konstrukcija kocke dvostruko većeg volumena nije moguća. (Dokaz te tvrdnje zahtjeva poznavanje nekih
manje poznatih matematičkih pojmova, pa ga ovdje nismo u mogućnosti iznjeti.)
Konstrukcija kvadrata iz poznate kružnice (tj. poznatog polumjera ili promjera neke kružnice) nije moguće zbog broja
p koji se pri tom javlja. Naime, nije teško izračunati kolika bi trebala biti stranica
dotičnog kvadrata ako želimo da mu površina bude jednaka kružnici čiji je polumjer jednak R. Taj izraz u sebi kao faktor sadrži i broj p, te se dani problem
svodi na pitanje da li se p može konstruirati samo sa šestarom i ravnalom. S obzirom na
operacije koje se mogu izvoditi s ta dva instrumenta, gornji problem je ekvivalentan pitanju da li je broj p, za koji se zna da je iracionalan, algebarski ili transcendentalan?
Odgovor na to pitanje je dao tek
Lindemann u drugoj polovici 19. stoljeća: p nije algebarski broj, već transcendentalan, a za
takav broj je poznato da ga se ne može konstruirati.
(Dokaz transcendentalnosti je vrlo kompliciran.) I time je Lindemann zaključio tisučljetnu debatu o problemu kvadrature
kruga!
Odgovorio:
M.Basletić, PMF
