U trodimenzionalnom prostoru postoje dvije vrste vektora: polarni (obični) vektori i pseudovektori. Postoji
nekoliko objašnjenja za to, od kojih su neka vrlo sofisticirana i zahtijevaju dosta predznanja. Npr. točan odgovor bi bio: kutna brzina je pseudovektor zato što je ona, zapravo, antisimetrični tenzor koji se, igrom slučaja, može u trodimenzionalnom prostoru prikazati s tri komponente tj. kao vektor. Pretpostavljam da ti ova rečenica ništa ne znači, pa ću ti pokušati to objasniti na jedan drugi način.
U tri dimenzije postoji dva načina kako iz dva vektora dobiti treći. Jedan je npr. zbrajanje, gdje se iz dva vektora, pomoću
'zakona paralelograma' tvori treći vektor (slika 1a). Naravno, umjesto zbrajanja možeš vektore oduzimati, i eventualno
množiti s realnim brojem. Sve to su tzv. obični vektori. Oni imaju jedno zgodno svojstvo (slika 1b):
|
a + b = c ==> (-a) + (-b) = (-c)
|
(1) |
ili drugačije napisano:
|
a → (-a) i b → (-b) ==> c → (-c)
|
(2) |
Riječima: ako zbroj dvaju vektora (a i b) daje neki treći vektor (c), onda zbroj dva okrenuta vektora (-a i -b) daje obrnuti treći vektor (-c). To zvući logično i očekivano (recimo kada dvije sile djeluju na tijelo... ).
Međutim, postoji i drugi način tvorbe vektora u trodimenzionalnom prostoru. Pokažimo potrebu za tim na kutnoj brzini. Da li je kutna brzina vektor ili skalar? Očito nije skalar, jer nije svejedno da li se disk vrti u jednu ili drugu stranu, ili da li se vrti u vodoravnoj ili okomitoj ravnini.
Ako nije skalar, onda mora biti vektor. Ali - koji vektor? Koji bi vektor imalo smisla definirati kao vektor kutne brzine? Zamisli kuglicu koja se vrti na špagi, po kružnici. Da li se kao kutna brzina može definirati vektor koji ima smjer njene (obične) brzine? Ne, jer se on stalno mijenja. Radijus vektor od centra vrtnje do kuglice? Također, nema smisla jer se taj vektor isto mijenja. Međutim, možemo uzeti vektor koji je okomit na ravninu vrtnje, ili preciznije rečeno, uzmimo
radijus vektor r i vektor trenutačne brzine v u nekom momentu, i konstruirajmo vektor koji je okomit na ta dva vektora (slika 2a). Neka to bude onda vektor kutne brzine w. Opisana operacija se zove vektorski produkt vektora i označava se s
(Napomena: ova formula je kriva. Ovako definirani vektor w ne predstavlja vektor kutne brzine, jer je krive duljine! Međutim, smjer mu je točan, a to je ono što nam je ovdje bitno.)
I sam primjećuješ da postoje dva vektora koja su okomita na ravninu ('iznad' i 'ispod' ravnine), tako da moramo postulirati još jedno pravilo za računanje vektora w. To pravilo se zove pravilo desne ruke (molim te, pitaj profesora iz fizike da ti ga objasni) i u potpunosti određuje položaj vektora w.
Pogledajmo sada što se događa s vektorom w ako napravimo zamjenu kao u izrazu (2):
|
r → (-r) i v → (-v) ==> w → ??
|
(4) |
Pažljivom konstrukcijom (slika 2b) uočavamo da se vektoru w nije promijenio predznak! Neobično! Zapišimo to:
|
r → (-r) i v → (-v) ==> w → w
|
(5) |
I to je odgovor na tvoje pitanje. Vektori koji imaju svojstvo (2) se zovu polarni vektori, a vektori sa svojstvom (5) aksijalni ili pseudovektori.
Da li postoji još pseudovektora u prirodi? Naravno:
- kutna količina gibanja L
- moment sile M
- magnetsko polje B ...
Odgovorio:
mr.sc.M.Basletić, PMF
