• Radim rad o sonoluminiscenciji i zanima me kako se može izračunati karakteristična frekvencija staklene posude oblika kugle ispunjene tekućinom. Unaprijed hvala. (Sonja iz Slavnoskog Broda)

  • Strogo uzevši, treba riješiti valnu jednadžbu za kuglu. Iz tog se onda može vidjeti koliko iznose karakteristične frekvencije (ili frekvencije stojnih valova), koje tebe zanimaju.

    Nažalost, valna jednadžba je tzv. parcijalna diferencijalna jednadžba i na njeno objašnjavanje bih mogao potrošiti teksta i teksta, što ovdje sigurno nisam u mogućnosti. Zato ću se pokušati poslužiti analogijom s titranjima žice (dakle, 1-dimenzionalni problem).

    Ako ti nije bilo poznato, izraz kojim se opisuje titranje napete žice je također rješenje valne jednadžbe - parcijalne diferencijalne jednadžbe. U srednjoškolskom programu se to rješenje ne dobiva iz te jednadžbe, već pogađanjem - uz nekoliko razumnih pretpostavki, može se pogoditi funkcija (prostorno i vremenski ovisna amplituda) koja opisuje stojni val na žici duljine L učvršćenoj na oba kraja:

    (c - brzina valova u materijalu od kojeg je načinjena žica). Ovdje valja istaknuti da su frekvencije kojima žica može titrati diskretne (kvantizirane), što je posljedica rubnih uvjeta: žica na rubovima gdje je učvršćena ne titra.

    Kao što sam napomenuo, do gornjih izraza se dolazi rješavanjem valne jednadžbe. Ispalo bi da su njena rješenja produkti funkcija sin, a primjenom rubnih uvjeta bi dobili diskretnost frekvencija i njihovu vrijednost.

    Za tvoj problem s kuglom, postupak je isti, međutim rješenje koje se dobiva više nije tako jednostavno. Kao prvo, kugla je 3-dim objekt, pa se diskretnost (kvantiziranost) karakterističnih frekvencija ne može opisati samo jednim cijelim brojem (za žicu je to bio samo n), već s više njih. S obzirom da se radi o 3-dim problemu, potrebna su 3 cijela broja za opisivanje stojnih valova unutar kugle. Međutim, frekvencije kojima oni titraju, zbog izrazito velike simetrije problema (kugla!), ovise samo o 2 broja.

    I na kraju, napišimo frekvencije stojnih valova u kugli i - usporedbe radi - na žici:

    gdje je x dan u tablici:
    Žica duljine L Kugla polumjera L
    1.1.
    1.4303
    1.83457
    2.2.
    2.22433
    2.45902
    2.60459
    2.89503
    2.97805
    3.3.
    3.31587
    3.34634
    3.47089
    3.71055
    3.72579
    3.92251
    4.4.
    4.07143

    Primjetimo bogatstvo frekvencija u 3-dim slučaju (kugla). Napominjem da su gornje frekvencije rezultat matematičkog proračuna. Pitanje je da li je u praksi moguće - i kako - pobuditi sve nabrojane frekvencije.

    Odgovorio:
    mr.sc.M.Basletić, PMF