|
|
|
Uvod Njihalom nazivamo bilo koje tijelo koje se njiše oko osi koja prolazi izvan njegovog težišta. Njihanje započinje ako se tijelo izvede iz položaja stabilne ravnoteže. Prije no što se upustite u eksperimentiranje s pravim njihalom, isprobajte računalnu simulaciju napravljenu u Javi. Odaberite duljinu njihala, tako da kliknete na neki od krugova (brojevi označavaju piksele na ekranu, što odgovara centimetrima u stvarnosti). Period njihanja stvarnog njihala (u sekundama), je također ispisan. Možete izmjeriti i njegovu "simulacijsku" vrijednost, koja dakako ovisi o brzini izvršavanja programa. Duljinu njihala možete mijenjati za vrijeme izvršavanja programa, tako da kliknete na neki drugi krug. Simulacija je napravljena za idealno matematičko njihalo, kod kojeg se zanemaruje masa konca, a kuglica je opisana točkastom masom smještenom u njenom težištu. Vidljivo je da se period njihanja povećava s duljinom njihala. Eksperiment Dakle, vaš eksperiment će se sastojati u mjerenju ovisnosi perioda gibanja T o duljini njihala l. Za izvođenje takvog eksperimenta, potrebna su vam sasvim skromna sredstva: konac, kuglica i štoperica. Većina digitalnih ručnih satova ima zadovoljavajuću štopericu, koja može mjeriti vrijeme s preciznošću od stotinke sekunde. Lakši dio mjerenja je određivanje duljine njihala. Valja jedino imati na umu da je to udaljenost između točke ovjesa i težišta (centra) kuglice. Znatno više pažnje treba posvetiti mjerenju perioda gibanja. Očito, najveća pogreška nastaje prilikom startanja i zaustavljanja štoperice. Pošto se radi o slučajnoj pogrešci, vjerojatnost pojave pozitivne i negativne pogreške je ista. Da bi se ona kvalitetno ocijenila, potrebno je iz niza ponovljenih mjerenja na neki način definirati srednju kvadratičnu pogrešku. Primjer : Autor je mjerio vrijeme t potrebno da njihalo napravi 10 titraja. Za svaku duljinu, mjerenje je ponovio n=10 puta. Na primjer, za duljinu njihala l=70 cm, dobiven je slijedeći niz vrijednostit[s]={16.78, 16.71, 16.79, 16.68, 16.71, 16.72, 16.73, 16.87, 16.80, 16.80} Prava vrijednost veličine t ostaje nepoznata. Opravdano je pretpostaviti da je ona bliska aritmetičkoj sredini
Srednja kvadratična pogreška pojedinačnog mjerenja definirana je izrazom
Napomena: Program Calculator, koji imate na vašem računalu, može vam poslužiti za računanje aritmetičke sredine (dugme "Ave") i srednje kvadratične pogreške pojedinačnog mjerenja (dugme "s") ! Iz formule je lako zaključiti da se m ne smanjuje s povećanjem broja mjerenja, jer se podjednako povećavaju i brojnik i nazivnik. No, s povećanjem broja mjerenja smanjujemo srednju kvadratičnu pogrešku same aritmetičke sredine. Može se pokazati da je ta veličina dana formulom
Naravno da ne treba pretjerivati s brojem mjerenja n. Za desetostruko povećanje potrošimo proporcionalno više vremena, a nepouzdanost se samanji samo oko 3 puta. Sasvim je dovoljno ponavljati mjerenje 10 puta. Dogovorno se rezultat mjerenja fizikalne veličine piše u obliku
Vjerojatnost da se prava vrijednost veličine t nalazi unutar intervala [16.73,16.79]s iznosi približno 68%. Sada konačno možemo izračunati period njihala
Naravno da se moglo direktno mjeriti period T. Ako se to učini na isti način kao gore, srednja kvadratična pogreška pojedinačnog mjerenja m ostaje približno ista, pa bi nepouzdanost perioda T bila već na stotinkama sekunde. Važno je uočiti da se m može smanjiti jedino poboljšanjem tehnike mjerenja. Na primjer, naši studenti na Fizičkom praktikumu I, mjere period njihala pomoću digitalne štoperice koja bilježi hiljaditi dio sekunde, a za njeno startanje i zaustavljenje upotrebljavaju posebno dizajniranu fotoćeliju. Tada je m otprilike za red veličine manji. Takvu preciznost je moguće postići i upotrebom PC-a i jeftinih senzora, što je također diskutirano na e-školi. Obrada eksperimentalnih rezultata Program za daljnu obradu eksperimentalnih rezultata je također napravljen u Javi i zahtijeva izmjerene vrijednosti za N=10 različitih duljina i pripadajućih perioda. Već prilikom samog mjerenja ste se uvjerili da s povećanjem duljine njihala raste i period njihanja. No, vjerovatno biste željeli ustanoviti sasvim konkretnu matematičku formulu za funkcionalnu ovisnost T(l). Naravno, za matematičko njihalo se ta formula može i teorijski izvesti. No, u svakodnevnoj istraživačkoj praksi, često se vrše mjerenja na novim fizikalnim sistemima za koje još nije razvijena nikakva teorija. Tada je jedini način da se utvrdi funkcionalna ovisnost među pojedinim mjerenim veličinama, analogan slijedećem postupku za njihalo. Dakle, za njihalo se polazi od prilično opravdane pretpostavke da je ta ovisnost dana slijedećom formulom
Treba naći vrijednosti eksponenta
Zamjenom y=ln(T) i x=ln(l), to svodimo na standardni oblik jednadžbe pravca y=a x + b, čiji je koeficijent smjera a upravo jednak traženom eksponentu
minimalna. To je takozvana metoda najmanjih kvadrata (MNK). Detaljnije o toj metodi, a i inače o teoriji pogrešaka mjerenja, možete vidjeti u predavanjima Dr. M. Požeka iz osnova teorije vjerojatnosti i matematičke statistike. Java program za obradu podataka je baziran upravo na toj metodi. Sada je pravi trenutak da ga isprobate. Najprije unesite izmjerene duljine u centimetrima i periode u sekundama u tablicu (Upozorenje: Ako je bilo koje polje ostalo prazno ili se upotrebljava nedozvoljen karakter, program izbaci upozorenje "Input Error". Dakle, ovisno o platformi, treba koristiti ili decimalnu točku ili decimalni zarez). Zatim kliknite mišem na "ln(T)-ln(l)" dugme (Upozorenje: Ako kliknete na "Exit" prozor će nestati, a s njime i upisani podaci. Zato koristi "Minimize" opciju da ga privremeno makneš sa ekrana). Ako ste pažljivo mjerili, interval ( Primjer: Ako kliknete na "Import Table", učitat ćete mjerenja koja je napravio autor ovog projekta. Pravilno zaokružen rezultat glasi To je u skladu s teorijskim predviđanjem za matematičko njihalo. Kao što je dobro poznato, ono glasi
gdje je sa g označeno gravitacijsko ubrzanje na Zemljinoj površini. Sada se pruža mogućnost da se iz postojećih mjerenja odredi g. U tu svrhu zgodno je kvadrirati taj izraz. Zamjenom y= Primjer: Ako koristite autorova mjerenja (kliknete opet na "Import Table", a zatim na "T^2-l"), pravilno zaokruženi rezultat glasi g=(9.84 ± 0.05) Dodatna razmatranja
gdje je
|
 |
 |
|
|
, koji najbolje opisuje eksperimentalne podatke (konstanta proporcionalnosti u ovom trenutku nije važna). Iz mjerenih rezultata lako je zaključiti da je to pozitivan broj ali manji od 1. Vjerovatno većina vas na svome računalu posjeduje neki od profesionalnih programa koji može direktno odrediti traženi eksponent (a i konstantu proporcionalnosti). Iz pedagoških razloga, ovdje je napravljen dodatni korak, koji će problem još malo pojednostavniti. Logaritmiranjem prethodne formule dobiva se
. Najbolji pravac je onaj za kojega je suma
) bi trebao sadržavati teorijsku vrijednost koja iznosi 1/2. 
i x=l, opet se dobiva linearna ovisnost y=a x pogodna za primjenu MNK. Gravitacijsko ubrzanje na Zemljinoj površini se izračuna iz koeficijenta smjera pravca, po formuli 
. Ovaj put kliknite na dugme "T^2-l" i vaš rezultat s pogreškom je ponovo ispisan na ekranu. Usporedite dobivenu vrijednost sa vrijednošću iz udžbenika fizike! Kakvo je slaganje?
. 
amplituda njihanja. Razmotrite iznos korekcije za razne vrijednosti amplitude. Kolike su bile tipične vrijednosti amplitude u vašem eksperimentu i da li je korekcija dovoljno velika (u odnosu na pogrešku M) da bi bila mjerljiva?